2.1 - Potentiel électrostatique 

a) Cas d’une seule charge ponctuelle

  Considérons une charge ponctuelle q (>0) fixée en P et un point M de l’espace (figure 1) :
 La charge ponctuelle q fixée en P crée  en tout point M de l’espace un champ électrostatique donné par :


La circulation élémentaire dC s’écrit alors :
Posons alors,
V est le potentiel électrostatique V(M) crée par la charge q fixée en M :

  Nous venons de définir un nouveau champ, le  potentiel électrostatique ; c’est un champ scalaire défini à une constante près. On choisit en général la valeur de la constante de telle sorte que le potentiel soit nul lorsque le point M est infiniment éloigné de la charge :
V ( r → ∞)=0  . Dans ce cas, la constante est nulle et le potentiel s’écrit :

Comme le champ, le potentiel V n’est pas défini aux points Pi :ne sont pas définis.

b) Cas d’une distribution de n charges ponctuelles

Soient n charges ponctuelles q1, q2, ..., qi, ...,qn fixés aux points P1, P2, ..., Pi, ...,Pn. 
Soit M un point de l’espace. (figure 2). 

Calculons la circulation élémentaire dCi du champcrée par la charge qi seule :
 Ainsi, le potentiel électrostatique Vi(M) dû à la charge qi. 
Le potentiel V(M) dû à l’ensemble des n  charges est la somme des potentiels en application du principe de superposition :
  Dans cette relation, nous avons choisi la constante nulle pour chaque potentiel Vi crée par la charge qi ; ceci n’est pas valable que si les charges qi sont réparties dans un volume fini.

2.2 - Relation entre champ et potentiel électrostatique

  Le potentiel électrostatique a été défini à partir de la circulation élémentaire du champ:
Le  champ électrostatiquedérive du potentiel scalaire V. Par l’intermédiaire de cette relation locale, qui lie le champ électrostatiqueet le potentiel électrostatique V, la connaissance de V en  un point de l’espace  suffit pour la détermination de. Cette relation implique des conditions de continuité et de dérivabilité sur la fonction V(M).

Unité : l’unité du potentiel électrostatique dans le système MKSA est le Volt (V). D’après la relation qui lie le  champ électrostatiqueet le potentiel électrostatique V, l’unité du champ électrostatique est le Volt par mètre (V/m).

2.3 - Propriétés 

La circulation C_AB du chample long du contour AB est
La circulation du champ de vecteur, le long de AB, est donc égale à la différence de potentiel V_A–V_B. Ainsi, la connaissance dene définit que les différences de potentiel.
Pour avoir le potentiel en un point, il faudra définir une origine arbitraire des potentiels. Il est commode de choisir le potentiel nul à l’infini quand la distribution de charges est limitée à un domaine fini.
La circulation du champ de vecteur, le long de AB est indépendante de la forme du contour AB ; elle  ne dépend pas du chemin suivi (la circulation élémentaire dC est différentielle totale exacte). 
 En conséquence la circulation deest  nulle le long de tout contour  fermé. Le champest un champ de vecteurs à  circulation conservative qui dérive d’une fonction scalaire appelée potentiel électrostatique. En résumé :

2.4 - Topographie d’un champ électrique

a) Lignes de champ

  Pour avoir une idée sur l’allure du champ, on trace les  lignes de champ, c’est à dire les courbes tangentes en chaque point au vecteur  E  défini en ce point. Ces courbes sont orientées par convention dans le sens du vecteur(figure 3). 
  Soit M un point d’une ligne de champ etle vecteur déplacement élémentaire sur une ligne de champ (Figure 3)
Puisqueetsont colinéaires, on a :
  Cette relation permet d’obtenir les équations des lignes de champ. Dans le système de coordonnées  cartésiennes, posons :
La relation (9) conduit à : 

Exemple de lignes de champ
Soit une charge ponctuelle en O. les lignes du champ crée par la charge ponctuelle sont des demi-droites concourantes en O, divergentes si q > 0 (figure 4-a) et convergentes si q < 0 (figure 4-b).
•  Notons que dans une région où le champest un vecteur bien défini et non nul, on peut suivre de façon continue une ligne de champ 
•  Deux lignes de champ ne peuvent se croiser : la figure 4 montre que les lignes de champ commencent (figure 4-a) ou s’arrêtent (figure 4-b) sur les charges qui sont des points singuliers.

b) Tube de champ

L’ensemble des lignes de champ s’appuyant sur un contour fermé constitue un tube de champ (Figure 5).

c) Surface équipotentielles

Ce sont des surfaces d’équation V = cste, c’est à dire d’égal potentiel (Figure 6). 
D’après la relation, le champest  normal aux surfaces équipotentielles et dirigé vers les potentiels  décroissants (sans le signe moins dans cette relation,est dirigé vers les potentiels croissants).   Nous avons représenté sur la figure II-6  les surfaces équipotentielles et les lignes du champ  E  crée par une charge ponctuelle positive. Les surfaces équipotentielles sont des sphères centrées en O, point où se trouve la charge. La direction de, c’est à dire du gradient de V est la direction de la normale aux surfaces équipotentielles, celle où V varie le plus rapidement ; il est clair que pour passer de la valeur V1 à la valeur V2, le chemin le plus court est le segment AB. 


Remarque
Lorsqu’on a un système de plusieurs charges, on  ne peut pas obtenir les lignes de champ  par superposition des lignes du champ de chacune des charges. Il faut calculer le champ totalet ensuite tracer les lignes de champ.

2.5 - Signification physique du potentiel électrostatique

  Concéderons une charge q en M soumise à un champ électrostatiquedue à une certaine distribution de charges discontinue (figure 7).

La force électrostatiqueentraîne un déplacement de la charge q (placée en M) d’un point M₁ à un point M₂.
La force électrostatique est conservative. Elle dérive donc d’une énergie potentielle U telle que : 
Nous avons introduit la forcepour avoir un moyen d’amener la charge q du point M1 au point M2, qui n’entraîne pas de production d’énergie cinétique. L’opérateur déplace très  lentement la charge q avec une force telle qu’elle équilibre la force électrostatique qui s’applique à la charge :.  Ainsi, un tel déplacement appelé  quasi-statique n’entraîne aucune production d’énergie cinétique. Dans une telle situation, le travail produit en amenant la charge de M1 à M2 se présente sous forme d’énergie potentielle.

Ainsi, dU représente le travail qu’un opérateur doit appliquer à la charge q contre la force électrostatiquepour déplacer la charge q de dr.
Pour amener la charge du point M1 au point M2, on a :
Le travail de la forcene dépend pas du chemin suivi, il ne dépend que de la position initiale M1 et de la position finale M2. Il s’ensuit que le travail delorsque la charge q est déplacée le long d’un contour fermé est nul, résultat que nous avons obtenu pour la circulation de  E . 
 
U(M) est l’énergie potentielle de la charge q placée au point M où le potentiel est V(M), d’où le nom potentiel et la justification du choix du signe moins dans la relation de définition : 
U(M)=qV(M  : énergie potentielle de la charge q placée en un point M où le potentiel est égal à V(M).
L’énergie potentielle est définie à une  constante près. Il en est de même pour le potentiel. Il faut donc un point de référence. Expérimentalement,  seules les différences de potentiel sont accessibles.