2-1 - Cas d’une charge ponctuelle

a) Flux élémentaire

  Soit une charge ponctuelle q>0 placée en O et M un point de l’espace (figure 1).  

Le champcréé par q en M est : 

  Soit dS un élément de surface entourant le point M ; orientons la surface dS (figure 1). Le flux élémentaire deà travers la surface orientée est : 

angle solide élémentaire sous lequel du point O on voit la surface élémentaire. Le signe de dΩ dépend de l’orientation de la surface :

b) Flux sortant à travers une surface fermée 

Soit une surface fermée Σ. On se propose de calculer le flux du champ électrostatiquecréé par une charge ponctuelle q à travers la surface fermée  Σ. Plus précisément on s’intéresse au  flux sortant, donc on a choisi d’orienter le vecteurdans le sens de la normale sortante à Σ. Deux cas seront envisagés :

•  le cas où la charge q est située à l’extérieure de la surface Σ

•  et celui où la charge q est située à l’intérieur de la surface Σ

Nous désignons par l’indice i les charges situées à l’intérieur de Σ et par l’indice e les charges extérieures à Σ. Soitle champ créé par qi etle champ créé par qe. 

1èr Cas : La charge est située à l’extérieur de Σ

    Si on considère le flux du champcréé par la charge qe située en O, sortant des surfaces dS1 et dS1’, d’après (1) et (2), on obtient :  

  Pour obtenir le flux desortant de la surface Σ,, on peut balayer toute la surface Σ à l’aide de cônes élémentaires tels que celui de la figure 2. Chacun de ces cônes intercepte sur la surface Σ une paire de surfaces élémentaires dS1 et dS1’ telles que leur contribution au flux total,.

  On en conclut que le flux du champ électrostatique crée par une charge ponctuelle située à l’extérieur d’une surface fermée Σ, sortant de la surface Σ est nul : 

2ème Cas : La charge est située à l’intérieur de Σ

Dans ce cas, l’angle solide sous lequel du point O on voit dS1 est égal à l’angle solide sous lequel de O on voit dS1’ : 

.   Ainsi, la paire de surface élémentaire dS1 et dS1’ découpées par un cône élémentaire de sommet O (ou se trouve la charge qi) donne une contributionau flux total, non nulle. 

  Le flux élémentaire  dΦi crée parà travers une surface élémentaire dSi (figure 4) est donnée par : 

  Le flux total sortant de  Σ est la somme des flux élémentaires dΦi :

Le flux du champ électrostatique créé par une charge ponctuelle située à l’intérieur d’une surface fermée Σ, sortant de la surface Σ est égal à :  

Ainsi, le flux total du champ électrostatique créé par une charge ponctuelle est : 

Cette relation relie le flux à travers une surface fermée (Σ) et les échanges à l’intérieure de cette surface. 

2-2 - Cas de n charges ponctuelles

 Considérons ni charges à l’intérieure d’une surface fermée  (Σ) et ne charges situées à l’extérieure de cette surface. Le champcréé par les n chargesest la somme vectorielle des champs créées par chacune des charges :

 Le flux du champsortant de la surface Σ est : 

D’après (3) et (4), on a : 

Le flux sortant de la surface  fermée  Σ est égal à la somme, divisée par  ε0, des charges intérieures à la surface Σ :

avec, Qint : charge totale intérieure à Σ

Ce résultat constitue le théorème de Gauss. 

2-3 - Cas d’une distribution continue de charge

On peut écrire le théorème de Gauss dans le cas où la distribution de charges est continue et décrite par une densité volumique de charges ρ. La charge totale intérieure à Σ, c’est à dire contenue dans le volume v limité par la surface fermée Σ est :

Où v est le volume délimitée par (Σ). 

Dans ce cas le théorème de Gauss s’écrit, v étant le volume limité par la surface (Σ) : 

C’est l’expression du théorème de Gauss sous la forme intégrale. 

2-4 - Validité du théorème de Gauss

Précisons que ce théorème est obtenu à partir de la loi de Coulomb (loi fondamentale de l’électrostatique). Ce théorème reste valable quand les charges sont en mouvement.

Le théorème de Gauss est une conséquence :

1)  de la loi en 1/r²  régissant les interactions entre les charges électriques

2)  du caractère central des forces électrostatiques

3)  du principe de superposition

Nous présentons dans le tableau ci-dessous la formulation du théorème de Gauss pour le champ électrostatique.

Cependant, ce théorème est également valable pour tous les champs de vecteurs de la forme, en particulier pour le champ de gravitation.