POTENTIEL ET CHAMP ELECTROSTATIQUES CREES PAR UN DIPOLE ISOLE

2.1 - Définition

Le dipôle électrostatique est l’ensemble de  deux charges électriques  égales et de signes  contraires (-q) et (+q) (q > 0), (figure 1). Ces deux charges sont fixées respectivement en deux points A et B séparées d’une distance. On se propose d’étudier les caractéristiques  du champ et du potentiel électrostatique crées par ces deux charges en un point M très éloignés des charges :: approximation dipolaire. 


2.2 - Moment dipolaires électriques 

Soient deux charges ponctuelles –q, +q fixées respectivement en A et B (q > 0). Le moment dipolaire électrique (ou moment du dipôle) est une grandeur vectorielle définie par (figure 1): 
En désignant par a la distance séparant A et B, la  norme du moment dipolaire vaut : 
Le moment dipolaire décrit la charge et sa géométrie. Il permet de caractériser le dipôle. Son unité dans le système International (SI) est le Coulomb-mètre (C m).

2.3 - Calcul du potentiel électrostatique 

Soient deux charges ponctuelles –q, +q fixées respectivement en A et B (figure 1) distant de (a). Considérons un point M très éloignés des charges, ce qui revient à considérer la distance a très inférieure à celle qui sépare M de l’une ou l’autre charge (la distance a est agrandie pour des raisons de clarté). 
La position de M est repéré dans le système des coordonnées polaires (r,  θ). Nous choisissons de prendre pour axe (Ox), la droite qui joint les deux charges tel que l’origine O soit au milieu du segment AB qui joint les charges (Ox es l’axe de révolution de la distribution). 
D’après le principe de superposition, le potentiel V(M) créé par le dipôle en un point M repéré par ses coordonnées polaires (r, θ) est donnée par :

avec, 
Ainsi, 
Nous avons donc,
Puisque  a/r<<1, on a :  a²/(4r²) <<a/r , on peut négliger les termes en (a/r)² devant le terme en (a/r) : 
Etant donné que a << r, on peut développeren puissance de (a/r) et ne retenir que le terme du premier ordre
Le potentiel V(M) est donc donné par : 
Soitle vecteur position du point M par rapport au point O (milieu de [A, B]) etle moment dipolaire (figure 2).  
On a :  
Le potentiel V(M) s’écrit donc : 
  Cette expression qui fait intervenir un produit scalaire est indépendante de tout système de coordonnées Il faut remarquer que la décroissance du potentiel en créer par un dipôle (1/r²) est plus rapide que dans le cas d’une charge ponctuelle qui est en (1/r).


2.4 - Calcul du champ électrostatique  

2.4.1 - Composantes du champ en coordonnées polaires

Le dipôle présente une symétrie de  révolution autour de (AB). Le champ électrostatiqueest donc contenu dans le plan (M, AB) (figure 3).  

D’après le principe de superposition, le champ en M est donné par :
Pour calculer les composantes du champ, utilisons la relation : 
Les composantes du champ dérivant du potentiel V(M) s’écrivent dans le système de coordonnées cylindriques : 

Il faut remarquer que la décroissance du champ en (1/r^3) créés par un dipôle est plus rapide que dans le cas d’une charge ponctuelle qui est en (1/r²).

Le module deest : 
Soit α l’angle que faitavec la radiale : 
  Notons que les composantes cartésiennes du champ suivant Ox  et Oy  (du plan AMB) s’écrivent :  

2.4.2 - Formulation globale du champ   

 Nous pouvons exprimeruniquement en fonction deet deen calculant le gradient de V(M) :
D’où l’expression intrinsèque deen fonction deet de

Les effets électriqueset V produits par le dipôle sont entièrement déterminés par son moment dipolaire. Il faut remarquer que la décroissance du potentiel en (1/r²) et du champ en (1/r^3) créés par un dipôle est plus rapide que dans le cas d’une charge ponctuelle.
  Notons que les composantes cartésiennes du champ suivant  Ox  et  Oy  (du plan AMB) peuvent être également obtenues en écrivant : 
  Ce qui donne d’après l’expression intrinsèque du champ indépendante du système de coordonnées : 
  On retrouve donc les composantes calculer à partir des composantes polaires du champ : 


Modifié le: Thursday 13 February 2020, 14:36