2.3 Les équations et inéquations
I. Equations :
1. Quelques petits rappels :
Définition :
Une équation est une égalité dans laquelle intervient un nombre inconnu, désigné le plus souvent par une lettre.
Exemple :
5x + 4=2x – 3 Vocabulaire:
x est appelé l‘inconnue de l‘équation.
5x + 4 est le premier membre de l‘équation
2x – 3 est le second membre de l‘équation.
Résoudre une équation, c‘est trouver toutes les valeurs possibles du nombre inconnu telles que l‘égalité soit vraie :
chacune de ces valeurs est appelée une solution de l‘équation.
Règles de manipulation des égalités :
Règle n° 1 :
On ne change pas l‘ensemble des solutions d‘une équation en ajoutant (ou retranchant) un même nombre aux deux membres de l‘équation.
Rappel de cinquième :
Si a + x = b ( avec a et b deux nombres )
alors x = b – a
Règle n° 2 :
On ne change pas l‘ensemble des solutions d‘une équation en multipliant (ou divisant)
les deux membres de l‘équation par un même nombre non nul.
Rappel de cinquième :
Si ax = b ( avec a : non nul )
alors
Exemples :
résoudre x-3 = 2
2x=4
2.Mise en équations de problèmes :
2.1. Méthode :
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2.2. application :
Enoncé :
Trouver 3 entiers consécutifs dont la somme est 126.
a. Choix de l‘inconnue
Soit x le plus petit (par exemple) de ces entiers.
Les 3 entiers consécutifs sont alors x, x+1, x+2.
b. traduction et mise en équation du problème
Si la somme est 126, on a : x+(x+1)+(x+2)=126
c. Résolution de l‘équation
x+(x+1)+(x+2)=126
3x+3=126
3x=123 donc x= 123:3 soit x=41
d. vérification :
41+42+43=126
e.Ensemble solution et conclusion :
S={41}
Les 3 entiers consécutifs dont la somme est 126 sont :41, 42 et 43.
II. Equations produit de la forme (ax+b)(cx+d)=0
1.Règle :
Règle :
Un produit de facteurs est nul si et seulement si l’un des facteurs au moins est nul.
2.Conséquence :
Les solutions de l‘équation (ax+b)(cx+d) = 0 sont les solutions de chacune des équations ax + b = 0 et cx + d = 0.
3.Exemple :
Résoudre l’équation (x – 2)(- 4x – 3) = 0.
(x – 2)(- 4x – 3) = 0
Un produit de facteurs est nul si un au moins des facteurs est nul :
x – 2 = 0 ou – 4x – 3 = 0
x = 2 ou – 4x = 3
x = – 3:4
x = – 0,75
L‘ensemble solution de cette équation est S={2 ; – 0,75}.
III.Inéquations
1.Définition :
On appelle inéquation d‘inconnue x, toute inégalité contenant la lettre x, où x représente un nombre inconnu.
Résoudre une inéquation, c‘est trouver toutes les valeurs possibles du nombre inconnu pour que l‘inégalité soit vraie : chacune de ces valeurs est appelée une solution de l‘inéquation.
Exemple :
2x + 3 < 5
2.Règles de manipulation des inégalités :
Règle n° 1 :
Si on ajoute ou retranche aux deux membres d‘une inéquation une même valeur
alors on ne modifie pas les solutions de l‘inéquation.
Exemple :
x+3< 5
x+3-3<5-3
x<2
Règle n° 2 :
Si on multiplie ou divise les deux membres d‘une inéquation par une même valeur strictement positive alors on ne modifie pas les solutions de l‘inéquation.
Exemple :
2x>8
Règle n° 3 :
Si on multiplie ou divise les deux membres d‘une inéquation par une même valeur strictement négative en changeant le sens de l‘inégalité alors on ne modifie pas les solutions de l‘inéquation.
Exemples :
Résoudre les inequations suivantes :
3.Résolution d‘inéquations :
Exemples et représentations des solutions :
Résoudre les inéquations suivantes :
a. x + 3 < 2
b. -7x-3 > 21
c. 7x+2<13x+4
