2.1 Calcul des distances
Exercice 1 Inégalité triangulaire
Sans faire la figure, dites dans chacun des cas ci-dessous si les points $A\;,\ B$ et $C$ sont alignés (Préciser l'ordre de l'alignement des points).
$1^{er}$ cas : $AB=12\qquad AC=5\qquad BC=7$
$2^{ième}$ cas : $AB=7.6\qquad AC=2.5\qquad BC=10.2$
$3^{ième}$ cas : $AB=2010\qquad AC=10\qquad BC=210$
$4^{ième}$ cas : $AB=0.5\qquad AC=1.06\qquad BC=0.56$
Exercice 2 Inégalité triangulaire
Dans chacun des cas ci-dessous sans faire la figure dite si le triangle $DEF$ existe.
$1^{er}$ cas : $DE=5\qquad EF=2\qquad DF=2.5$
$2^{ième}$ cas : $DE=7.5\qquad EF=5\qquad DF=4$
$3^{ième}$ cas : $DE=14.2\qquad EF=19\qquad DF=4.2$
$4^{ième}$ cas : $DE=105.6\qquad EF=104.6\qquad DF=102.4$
Exercice 3 Inégalité triangulaire
Soit $ABC$ un triangle et $M$ un point intérieur à ce triangle. La droite $(AM)$ coupe $[BC]$ en $I.$
1) a) Démontrer : $IC+IB=BC$ et $IA<IC+CA.$
b) En déduire que : $IA+IB<CA+CB.$
2) Démontrer que : $MA+MB<IA+IB.$
(Utiliser le triangle $BMI$).
3) Déduire de ce qui précède que : $MA+MB<CA+CB.$
Exercice 4 Inégalité triangulaire
1) Construire un triangle quelconque $ABC$, et choisis un point $R$ sur le segment $[BC].$
On note $p$ le périmètre du triangle $ABC.$
2) Démontrer que $AR<\dfrac{p}{2}$
Exercice 5 Régionnement du plan.
Soient $A$ et $B$ deux points distincts du plan.
1) Construire l'ensemble $E_{1}$ des points $M$ du plan tels que : $AM=AB.$
2) Tracer l'ensemble $E_{2}$ des points $N$ du plan tels que : $AN=BN.$
3) Colorier en bleu l'ensemble $E_{3}$ des points $M$ du plan tels que : $AM<BM$ et $AM<AB.$
Exercice 6 Régionnement du plan
1) Marquer trois points $A\;,\ B$ et $C$ tels que :
$AB=5\;cm\;;\ AC=8\;cm$ et $BC=3\;cm.$
Que peut-on dire ces trois points ?
2) Colorier la partie du plan où les points sont à la fois plus prés de $C$ que de $A$ et plus éloignés de $B$ que de $C.$
Exercice 7 Régionnement du plan
Soit $A$ et $B$ deux points du plan tels que : $AB=4\;cm.$
1) Tracer en bleu l'ensemble des points $M$ du plan tels que : $AM=BM.$
2) Colorier en bleu l'ensemble des points $M$ du plan tels que : $AM<BM.$
3) Placer un point $C$ tel que : $AC=3\;cm$ et $BC=5\;cm.$
4) Colorier en rouge l'ensemble des points $M$ du plan tels que : $BM<CM.$
5) Hachurer l'ensemble des points $M$ tels que : $AM<BM<CM.$
Exercice 8 Distance de deux droites parallèles.
1) On donne $(D)$ et un point $B$ situé à $1\;cm$ de $(D).$
2) Construire les droites $(D_{1})$ et $(D_{2})$ parallèle à $(D)$ et situées à $2\;cm$ du point $B.$
3) Quelle est la distance des droites $(D_{1})$ et $(D_{2})\ ?$
4) Quelle est la distance de $(D)$ à chacune des droites $(D_{1})$ et $(D_{2})\ ?$
Exercice 9 Positions relatives de cercle
$\mathcal{C}_{1}$ est un cercle de centre $O_{1}$ et de rayon $R_{1}\;;\ \mathcal{C}_{2}$ un cercle de centre $O_{2}$ et de rayon $R_{2}.$ Compléter le tableau ci-dessus.
\(\begin{array}{|l|c|c|c|c|c|}\hline R_{1}&9&8.2&6.4&10&5 \\ \hline R_{2}&14&7.5&4.9&23&18 \\ \hline O_{1}O_{2}&12&15.7&15.6&13&24 \\ \hline R_{1}+R_{2}& & & & & \\ \hline|R_{1}-R_{2}|& & & & & \\ \hline\text{Position relative de } \mathcal{C}_{1}\text{ et }\mathcal{C}_{2}& & & & & \\ \hline\end{array}\)
Rappels 1 "Cas extérieur"
$-\ $ Si $O_{1}O_{2}=R_{1}+R_{2}$ alors $\mathcal{C}_{1}$ et $\mathcal{C}_{2}$ sont tangents extérieurement.
$-\ $ Si $O_{1}O_{2}<R_{1}+R_{2}$ alors $\mathcal{C}_{1}$ et $\mathcal{C}_{2}$ sont sécants extérieurement.
$-\ $ Si $O_{1}O_{2}>R_{1}+R_{2}$ alors $\mathcal{C}_{1}$ et $\mathcal{C}_{2}$ sont disjoints extérieurement
Rappels 2 "Cas intérieur"
$-\ $ Si $O_{1}O_{2}=R_{1}-R_{2}$ alors $\mathcal{C}_{1}$ et $\mathcal{C}_{2}$ sont tangents intérieurement.
$-\ $ Si $O_{1}O_{2}>R_{1}-R_{2}$ alors $\mathcal{C}_{1}$ et $\mathcal{C}_{2}$ sont sécants intérieurement.
$-\ $ Si $O_{1}O_{2}<R_{1}-R_{2}$ alors $\mathcal{C}_{1}$ et $\mathcal{C}_{2}$ sont disjoints intérieurement
Exercice 10 Approfondissement
1) Sur le segment $[AB]$, placer les points $I\;,\ C$ et $O$ tel que : $AI=1\;cm\;;\ AC=2\;cm$ et $BO=3\;cm.$
2) a) Tracer en vert le cercle $\mathcal{C}_{1}(A\;;\ AC).$
b) Tracer en vert le cercle $\mathcal{C}_{2}(B\;;\ BO).$
c) Tracer en vert le cercle $\mathcal{C}_{3}(I\;;\ IO).$
3) Déterminer les positions relatives des cercles :
$\mathcal{C}_{1}$ et $\mathcal{C}_{2}$ ; $\mathcal{C}_{1}$ et $\mathcal{C}_{3}$ ; $\mathcal{C}_{2}$ et $\mathcal{C}_{3}.$
Justifier chacune des réponses.
4) Colorier l'ensemble des points $M$ du plan tel que :
$AM<AC$ et $MI>IO.$
Exercice 11 bissectrice
Soit un cercle $\mathcal{C}(M\;;\ 2\;cm)$ la droite $(d_{1})$ est tangent à $(\mathcal{C})$ en $A.$ La droite $(d_{2})$ est tangente à $(\mathcal{C})$ en $B.$ Les droites $(d_{1})$ et $(d_{2})$ se coupent en $C.$
Démontrer que le point $M$ appartient à la bissectrice de l'angle $ACB.$
Exercice 12 Positions relatives de cercle
Les boucles d'oreille de la petite Sassoum sont formées de petits cercles $\mathcal{C}_{1}\;;\ \mathcal{C}_{2}$ et $\mathcal{C}_{3}$ tels que : \(\mathcal{C}_{1}(I\;;\ r=0.2)\;;\ \mathcal{C}_{2}(J\;;\ r=0.3)\text{ et }\mathcal{C}_{3}(K\;;\ r=0.5).\)
Les points $I\;,\ J$ et $K$ sont alignés dans cet ordre.
Quelle est la position relative des cercles :
1) $\mathcal{C}_{1}$ et $\mathcal{C}_{2}$ ? Justifier la réponse.
2) $\mathcal{C}_{2}$ et $\mathcal{C}_{3}$ ? Justifier la réponse.
3) $\mathcal{C}_{1}$ et $\mathcal{C}_{3}$ ? Justifier la réponse.
Exercice 13 Position d'une droite et d'un cercle
Soit $O\;;\ I\;;\ J\;;\ K\;;\ L$ des points d'une droite $(d)$ tel que :
$OI=4\;cm\;;\quad OJ=6\;cm\;;\quad OK=8\;cm\;;\quad OL=5\;cm$
$O\in[IL]\;;\quad O\notin[IJ]\;;\quad O\notin[IK].$
1) Construire le cercle $\mathcal{C}$ de centre $O$, de $5\;cm$ de rayon.
2) Tracer les perpendiculaires en $I\;;\ J\;;\ K\;;\ L$ à la droite $(d).$
3) Quelle est la position relative de chacune de ces droites par rapport au cercle $\mathcal{C}\ ?$
Exercice 14 bissectrice et médiatrice
$ABC$ est triangle. La droite $(d)$ est la parallèle à $(BC)$ qui passe par $A.$ La médiatrice de $[AB]$ coupe la droite $(d)$ en $P.$
1) Démontrer que les angles $PAB$ et $CBA$ ont des mesures égales.
2) Démontrer que $PAB$ est isocèle en $P.$
3) Démontrer que la droite $(AB)$ est bissectrice de l'angle $PBC.$
Exercice 15
1) Trace une droite $(d)$, puis marque un point $M\not\in (d).$
2) Utilise l'équerre et la règle pour mesurer la distance de $M\text{ à }(d).$
Exercice 16
Trace une droite $(d).$ Place un point $A$ situé à $4.5\;cm\text{ de }(d).$
Exercice 17
Pour chacun des énoncés ci-dessous, trois réponses $a\;,\ b\text{ et }c$ sont données dont une seule est juste.
Écris le numéro de l'énoncé et la réponse choisie.
1) $(\mathcal{C})$ est un cercle de centre $O$ et de rayon $4\;cm\text{ et }(\mathcal{D})$ une droite à une distance de $6\;cm$ du point $O.$
a) $(\mathcal{D})\text{ et }(\mathcal{C})$ sont sécants.
b) $(\mathcal{D})\text{ et }(\mathcal{C})$ sont disjoints.
c) $(\mathcal{D})\text{ et }(\mathcal{C})$ sont tangents.
2) $(\mathcal{C})$ est un cercle de centre $A$ et de rayon $6\;cm\text{ et }(\mathcal{D})$ une droite à une distance de $6\;cm$ du point $A.$
a) $(\mathcal{D})\text{ et }(\mathcal{C})$ sont sécants.
b) $(\mathcal{D})\text{ et }(\mathcal{C})$ sont disjoints.
c) $(\mathcal{D})\text{ et }(\mathcal{C})$ sont tangents.
3) $(\mathcal{C})$ est un cercle de centre $I$ et de rayon $6\;cm\text{ et }(\mathcal{D})$ une droite à une distance de $3\;cm$ du point $A.$
a) $(\mathcal{D})\text{ et }(\mathcal{C})$ sont sécants.
b) $(\mathcal{D})\text{ et }(\mathcal{C})$ sont disjoints.
c) $(\mathcal{D})\text{ et }(\mathcal{C})$ sont tangents.
Exercice 18
Soit $ABCD$ un parallélogramme.
Démontre que :
$AC<AB+BC\text{ et }BD<AB+BC.$
Exercice 19
Trace une droite $(\Delta).$
Représente l'ensemble des points situés à $4\;cm$ de cette droite.
Exercice 20
1) Qu'appelle-t-on bissectrice d'un angle ?
2) $ABC$ est un triangle, construis l'ensemble des points $M$ situés à égale distance des demi-droites $[AC)\text{ et }[AB).$
Exercice 21
$ABC$ est un triangle isocèle en $A.$
$H$ est le pied de la médiane issue de $A.$
Démontre que le point $H$ est équidistant des côtés $[AB]\text{ et }[AC].$
Exercice 22
1) Trace un segment $[AB]$, puis trace sa médiatrice $(\mathcal{D}).$
2) Marque un point $M$ dans le demi-plan $(P_{B})$, de frontière $(\mathcal{D})$, contenant le point $B$, puis trace le segment $[MA]$ qui coupe $(\mathcal{D})\text{ en }I.$
3) En considérant le triangle $MIB$, montre que $MI+IB>MB.$
4) Montre que $IB=IA$ et déduis-en que $MA>MB.$
Exercice 23
1) Trace un cercle $(\mathcal{C})$ de centre $O$ et de rayon $3\;cm.$
2) Marque deux points $A\text{ et }B$ sur le cercle non diamétralement opposés.
3) Trace la droite $(\mathcal{D})$ perpendiculaire à $(AB)$ et passant par $O.$
Elle coupe $(\mathcal{C})\text{ en }L\text{ et }K$
4) a) Montre que $(\mathcal{D})$ est la médiatrice de $[AB].$
4) b) Déduis-en que $LA=LB.$
Exercice 24
1) Construis un cercle $\mathcal{C}(O.3\;cm)$ et une droite $(\mathcal{D})$ disjoints.
2) Trace les droites tangentes à $(\mathcal{C})$ et parallèles à $(\mathcal{D}).$
Exercice 25
1) Construis un cercle $\mathcal{C}(O.3\;cm)$ et marque un point $I$ tel que $OI=5\;cm.$
2) Construis les tangentes à $(\mathcal{C})$ passant par $I.$
Exercice 26
$LOI$ est un triangle, $H$ le pied de la hauteur issue de $L.$
$(\mathcal{C})$ est le cercle de centre $L$ et de rayon strictement inférieur à $LH.$
Démontre que le cercle $(\mathcal{C})$ et la droite $(OI)$ sont disjoints.
Exercice 27
$ABD$ est un triangle, $L$ le pied de la hauteur issue de $\mathcal{D}.$
$(\mathcal{C})$ est le cercle de centre $A$ et de rayon $AL.$
Démontre que $(\mathcal{C})\text{ et }(DL)$ sont tangents.
Exercice 28
$MNP$ est un triangle isocèle en $M$, $H$ le milieu de $[NP].$
Démontre que le cercle $(\mathcal{C})$ de centre $M$ et de rayon strictement supérieur à $MH\text{ et }(NP)$ sont sécants.
Exercice 29
$EGH$ est un triangle rectangle en $E.$
$(\mathcal{C})$ est le cercle de centre $G$ et de rayon $EG.$
Démontre que $(\mathcal{C})$ et $(EF)$ sont tangents.
