2.2 Applications linéaires

Exercice 1 "Proportionnalité"
Compléter le tableau suivant pour que les suites de
nombres $S_{1}$ et $S_{2}$ soient proportionnelles.
On utilisera le coefficient de proportionnalité permettant de passer de $S_{1}$ à $S_{2}.$
\(\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}\hline S_{1}&2.4& &3.6&4.8&6.2&11.3 \\ \hline S_{2}& &9& &14.4& & \\ \hline\end{array}\)

Exercice 2 "Application linéaire dans la vie courante"

Un gèrent de télé centre propose à ses clients le tarif suivant : "Chaque minute de communication 60 f".
1) Exprimer la somme $y$ à payer en fonction du nombre $x$ de minutes de communication.
2) a) Calculer la somme à payer pour un client qui a fait 7 minutes de communication.
b) Un client dispose 4800 f. Combien de minutes qu'il peut faire.

Exercice 3 "Application linéaire dans la vie courante"

Une bibliothèque de prêt demande à ses clients 300 f par livre emprunter. On note x le nombre de livres empruntés par un client en une année et $S(x)$ la somme à payer.
1) a) Exprimer S(x) en fonction de x.
b) Donner la nature de cette application.
c) Déterminer son sens de variation.
2) Représenter graphiquement $S$
$(1\;cm \longrightarrow 1\text{ livre en abscisse }; 1\;cm \longrightarrow 300\text{ f en ordonnée).}$
3) Déterminer graphiquement le nombre de livre emprunté par un client qui paie 2400 f.

Exercice 4 "Proportionnalité et application linéaire"

On considère les trois tableaux ci-dessous.
\(1\;.\ \begin{array}{|c|c|c|c|}\hline x&7&14&35 \\ \hline y&1&2&4 \\ \hline\end{array}\quad 2\;.\ \begin{array}{|c|c|c|c|}\hline x&1.5&2&2.5 \\ \hline y&4.5&6&7.5 \\ \hline\end{array}\quad 3\;.\ \begin{array}{|c|c|c|c|}\hline x&30&36&39 \\ \hline y&10&12&13 \\ \hline\end{array}\)
1) Ces tableaux sont-ils des tableaux de proportionnalité ? Justifier chaque réponse.
2) Si oui, déterminer l'application linéaire qui correspond à chaque tableau sous la forme $y=ax$

Exercice 5 "Reconnaissance d'une application linéaire"

Parmi ces relations, celles qui traduisent une application linéaire puis déterminer le coefficient de linéarité et le sens de variation (HP).
1) a) $y=3x\qquad$ b) $y=3x-1\qquad$ c) $y=3\qquad$ d) $y =-3x$
e) $y=5x^{2}\qquad$ f) $y=-x\qquad$ g) $y=x\qquad$ h) $y=5x$
2) a) $y=-\dfrac{4}{3}x\qquad$ b) $y=3+\dfrac{5}{4}x\qquad$ c) $y=\dfrac{3x+1}{2}-\dfrac{1}{2}$

Exercice 6 "Image et antécédent"

On considère l'application : $y=-2x.$
1) a) Cette application est-elle linéaire ? Justifier.
b) Comment appelle t-on le nombre $-2.$
c) Que représente $y$ pour $x$ ; puis $x$ pour $y.$
2) Calculer les images de: $2\;;\ -3\;;\ 0$ et $3\pi.$
3) Calculer les antécédents des nombres : $-4\;;\ \dfrac{4}{3}$ et $2\pi.$
4) a) Tracer $(d)$ la représentation graphique de cette application dans un repère orthonormé.
b) Déterminer graphiquement l'image de $-1.$

Exercice 7 "Détermination d'une et application linéaire"

$f$ est une application linéaire on sait que : $f(2)=-4.$
1) Trouver le coefficient a de cette application linéaire.
2) Donner l'expression de $x$ par $f$ puis représentation graphique de cette application dans un repère orthonormé.
3) Calculer de deux façons l'image de 2008.

Exercice 8 "Propriété de la linéarité"

Calculer le coefficient des applications linéaires $f\;,\ g$ et $h.$
1) $f$ est telle que : $f(2)+f(-3)=6$
2) $g$ est telle que : $3g(2)=1.5$
3) $h$ est telle que : $h(-2)-\dfrac{1}{2}h(3)=2$

Exercice 9 "Détermination d'une application linéaire"

1) Déterminer l'application linéaire g définie par : \(3g(2)+g(1)=-14\)
2) Déterminer le sens de variation de $g$ puis calculer $g\left(-\dfrac{1}{3}\right)$
3) Représenter $g$ dans un repère orthonormé.

Exercice 10 "Triangle équilatéral et application linéaire"

On désigne $x$ le côté d'un triangle équilatéral et $p(x)$ le périmètre du triangle.
1) Exprimer $p(x)$ en fonction de $x$ puis donner la nature de cette application.
2) Exprimer $S(x)$ en fonction de $x$ puis donner la nature de cette application.
3) a) Calculer $x$ si le périmètre est de $27\;m.$
b) Calculer $x$ si l'aire est de $87\;cm^{2}.$

Exercice 11 "Le rectangle et application linéaire"

Soit $x$ longueur d'un rectangle de largeur $6\;m.$
1) Exprimer le périmètre $p(x)$ en fonction de $x.$
2) Exprimer l'aire $\mathcal{A}(x)$ en fonction de $x.$
3) Calculer $x$ si le périmètre est de $38\;m.$
4) Calculer l'aire $\mathcal{A}$ si la longueur est égale à $6.5\;m$

Exercice 12 "Représentation graphique d'une application linéaire"

On considère les applications linéaires $f$ et $g$ tels que : \(f(x)=-\dfrac{1}{2}x\quad\text{et}\quad g(x)=2x\)
1) Calculer les images par $f$ des nombres : $0\;;\ -3$ et $-\pi.$
2) Calculer les images par $g$ des nombres : $2\;;\ 3$ et $-5\pi.$
3) Calculer les antécédents par $f$ des nombres 4 et -6.
4) Calculer les antécédents par $g$ des nombres 4 et -6.
5) Tracer la droite $(d)$ représentation graphique de $f.$
6) Tracer la droite $(d')$ représentation graphique de $g.$
7) Vérifier que $(d)$ et $(d')$ sont perpendiculaires.

Exercice 13

On donne les applications linéaires suivantes $m\;,\ k\text{ et }l$ telles que :
$m(x)=\dfrac{x}{3}\;,\ k(x)=-\dfrac{1}{2}x\;,\ l(x)=7x.$
1) Indique le coefficient de linéarité de chaque application linéaire.
2) Calcule l'image de chacun des rationnels suivants :
$-2\;;\ \dfrac{1}{3}\;;\ -\dfrac{3}{2}$ par les applications linéaires $m\;,\ k\text{ et }l.$

Exercice 14

Soit l'application linéaire $g$ telle que $g(6)=18.$
Que représente $18$ pour $6$ et $6$ pour $18$ ?

Exercice 15

Soit l'application $k$ définie par $k(x)=\dfrac{1}{2}x.$
Calcule l'antécédent de $\dfrac{3}{4}$ par $k.$

Exercice 16

Détermine l'application linéaire $g$ pour laquelle $-18$ est l'image de $3.$

Exercice 17

Soit $g(x)=\dfrac{1}{2}x.$
1) Détermine l'image par $g$ de chacun des nombres suivants :
$-4\;;\ 2\;;\ \dfrac{2}{5}.$
2) Note les résultats dans un tableau de correspondance.
3) Justifie que c'est un tableau de proportionnalité.

Exercice 18

Soit l'application linéaire $h$ tel que $h(-4)=8\;;\ h(7)=-14.$
Sans déterminer le coefficient de linéarité, calcule $h(3)\;;\ h(21)\;;\ h(-28)\text{ et }h(11).$

Exercice 19

Représente graphiquement l'application linéaire $m$ définie par $m(x)=-2x.$

Exercice 20

On considère l'application linéaire $g$ telle que $g(11)=66\;;\ g(5)=30.$
1) Sans calculer le coefficient, calcule $g(16)\;;\ g(22)\;;\ g(15).$
2) Représente graphiquement l'application $g.$
3) Détermine graphiquement l'ordonnée du point $M$ d'abscisse $2$ ?
4) Détermine graphiquement l'abscisse du point $N$ d'ordonnée $-6$ ?