2.4 Droites remarquables
Exercice 1 Les Bissectrices
Les droites $(CP)$ et $(DA)$ se coupent en $R.$
$T$ est le symétrique de $R$ par rapport à $P$
Les droites $(RO)$ et $(DT)$ se coupent en $M.$
1) Construire un triangle $ABC$ quelconque.
2) a) Construire $(b_{2})$ bissectrice de l'angle $\widehat{A}$ ; elle coupe $(BC)$ en $A'.$
b) Construire la droite $(b_{1})$ bissectrice de l'angle $\widehat{B}$ ; elle coupe $(AC)$ en $B'.$
3) a) $(b_{1})$ et $(b_{2})$ se coupent en $O$, marque $O.$
4) a) La droite perpendiculaire à $(AB)$ et passant par $O$ coupe la droite $(AB)$ en $I.$
b) La droite perpendiculaire à $(BC)$ et passant par $O$ coupe la droite $(BC)$ en $J.$
c) La perpendiculaire à $(AC)$ et passant par $O$ coupe la droite $(AC)$ en $K.$
5) a) Démontrer que : $OI=OJ=OK.$
b) En déduire que $(b_{3})$ bissectrice de $\widehat{C}$ passe par $O.$
c) Énoncer la propriété que tu viens de démontrer pour les bissectrices.
d) Que représente le point $O$ pour le triangle $ABC\ ?$
Exercice 2
Construire un triangle $MNP$ tel que :
$MN=6\;cm\;;\ NP=5\;cm$ et $MP=7\;cm.$
1) La bissectrice de l'angle $\widehat{M}$ coupe $[NP]$ en $E.$
2) La bissectrice de l'angle $\widehat{N}$ coupe $(ME)$ en $I.$
3) Démontrer que $(IP)$ est la bissectrice de l'angle $\widehat{MPN}.$
Exercice 3 Les médianes
1) Construire un triangle $IJK.$
2) a) Construire la droite $(JA')$ médiane de $IJK.$
b) Construire la droite $(KB')$ médiane de $IJK.$
c) Les deux droites $(JA')$ et $(KB')$ se coupent en $G$, placer le point $G.$
3) a) Construire le point $E$ symétrique de $C$ par rapport $G.$
b) Démontrer que $(BE)$ et $(A'G)$ sont parallèles.
c) Démontrer que $AEBG$ est un parallélogramme.
4) a) La droite $(CG)$ coupe $(AB)$ en $C'$, marque $C'.$
b) Démontrer que le point $C'$ est le milieu de $[AB].$
c) En déduire que $(CG)$ est la 3eme médiane de $ABC.$
d) Énoncer la propriété que tu viens de démontrer pour les médianes.
e) Que représente le point $G$ pour le triangle $ABC\ ?$
5) a) Démontrer que : $GC'=\dfrac{1}{2}GC$ et $CG=\dfrac{2}{3}CC'.$
b) Énoncer la propriété que tu viens de démontrer pour le centre de gravité.
Exercice 4
$ABCD$ est un parallélogramme de centre $O\;,\ P$ est le milieu de $[OB].$
Les droites $(CP)$ et $(DA)$ se coupent en $R.$
$T$ est le symétrique de $R$ par rapport à $P$
Les droites $(RO)$ et $(DT)$ se coupent en $M.$
1) Faire une figure complète.
2) Montrer que $(DP)$ est une médiane de $RDT.$
3) Montrer que $DO=\dfrac{2}{3}DP$
4) Quel est le centre de gravité du triangle $RDT.$
5) Démontrer que $M$ est milieu du segment $[DT].$
Exercice 5
1) Construire un triangle $ABC$ tel que :
$AB=5\;cm\;,\ AC=4\;cm$ et $BC=6\;cm.$
$I$ et $J$ sont les milieux respectifs de $[AB]$ et $[AC].$
2) Montrer que les droites $(IJ)$ et $(BC)$ sont parallèles puis calculer $IJ.$
3) Les demi-droites $[BJ)$ et $[CJ)$ se coupent en $G.$
a) Que représentent les demi-droites $[BI)$ et $[CJ)$ pour le triangle $ABC\ ?$
b) Que représente le point $G$ pour le triangle $ABC\ ?$
4) Soit $K$ le milieu du segment $[BC]$. Montrer que les points $A\;,\ G$ et $K$ sont alignés.
5) On donne $AK=3\;cm$. Calculer $AG$ et $GK.$
Exercice 6 Les médiatrices
1) Construire un triangle $ABC$ quelconque.
2) a) Construire la droite $(m_{1})$ médiatrice de $[AB].$
b) Construire la droite $(m_{2})$ médiatrice de $[BC].$
2) a)Les droites $(m_{1})$ et $(m_{2})$ se coupe en $O.$
3) a) Démontrer que : $OA=OB=OC.$
b) En déduire que la droite $(m_{3})$ médiatrice $[AC]$ passe par $O.$
c) Énoncer la propriété que tu viens de démontrer pour les médiatrices.
d) Que représente le point $O$ pour le triangle $ABC\ ?$
Exercice 7 Les hauteurs
1) Construire un triangle $ABC$ quelconque.
2) a) Construire $(AM)$ hauteur issue de $A.$
b) Construire la droite $(BN)$ hauteur issue de $B.$
3) a) Les droites $(AM)$ et $(BN)$ sont sécantes.
b) Les deux droites $(AM)$ et $(BN)$ se coupent en $H$, placer le point $H.$
4) a) Construire la droite $(B'C')$ passant par $A$ et parallèle à $(BC).$
b) Construire la droite $(A'C')$ passant par $B$ et parallèle à $(AC).$
c) Construire la droite $(B'A')$ passant par $C$ et parallèle à $(AB).$
5) Démontrer que : les quadrilatères $ABCB'\;;\ BCAC'$ et $CABA'$ sont des parallélogrammes.
6) a) Démontrer que $(AH)$ est la médiatrice de $[B'C'].$
b) Démontrer que $(BH)$ est la médiatrice de $[A'C'].$
c) Démontrer que $(CH)$ est la troisième médiatrice du triangle $A'B'C'.$
7) a) Que représentent les médiatrices du triangle $ABC\ ?$
b) Énoncer la propriété que tu viens de démontrer pour les hauteurs du triangle.
c) Que représente le point $H$ pour le triangle $ABC$
Exercice 8 Les hauteurs
Soit $ABCD$ un parallélogramme de centre $H.$
La perpendiculaire à $(DB)$ passant par $A$ et la La perpendiculaire à $(AC)$ passant par $B$ se coupent en $G.$
1) Faire une figure.
2) Que représente le point $H$ pour le triangle $AGB.$
3) Montrer que les droites $(GH)$ et $(AB)$ sont perpendiculaires.
4) Montrer que les droites $(GH)$ et $(DC)$ sont perpendiculaires.
Exercice 9
Soit $ABC$ un triangle tel que :
$AB=6\;cm\;;\ AC=7\;cm$ et $BC=8\;cm.$
Les points $L\;,\ M$ et $N$ sont les milieux respectifs des côtés $[BC]\;,\ [AB]$ et $[AC]$ d'un triangle $ABC.$
1) Faire une figure complète.
2) Démontrer que $MLCN$ est un parallélogramme.
En déduire que : $AK=\dfrac{1}{2}AL$ puis $KG=\dfrac{1}{6}AL$
Exercice 10
Soit $ABCD$ un parallélogramme et $E$ le symétrique de $D$ par rapport à $C.$ Les droites $(AD)$ et $(BE)$ se coupent en $F.$
1) Montrer que $B$ est le milieu du segment $[EF].$
2) Montrer que $A$ est le milieu du segment $[DF].$
3) Les droites $(FC)$ et $(DB)$ se coupent en $G.$ Démontrer que les points $A\;,\ G$ et $E$ sont alignés.
Exercice 11
1) Construis un triangle $ABC$ tel que $AB=14\;cm\;,\ AC=10\;cm\text{ et }BC=12\;cm.$
2) Construis ses médiatrices en rouge, ses médianes en vert, ses hauteurs en bleu et ses bissectrices en noir.
3) Place le point $G$ centre de gravité du triangle, le point $O$ centre du cercle circonscrit, le point $I$ centre du cercle inscrit et le point $H$ orthocentre du triangle.
4) Pour ce triangle $ABC$, construis les cercles circonscrit et inscrit.
5) Trace la droite qui passe par $O$ et $G.$
Vérifie qu'elle passe par $H.$
Exercice 12
Construis le triangle $ABC$ tel que :
$AB=3.5\;cm=120^{\circ}\text{ et }BC=5\;cm.$
1) Trace en bleu la hauteur issue de $A$ et en vert la médiatrice du segment $[BC].$
2) Démontre que ces deux droites sont parallèles.
Exercice 13
$ABC$ est un triangle de centre de gravité $G.$
$E\;,\ D\text{ et }F$ sont les milieux respectifs de $[AC]\;,\ [AB]\text{ et }[BC].$
On donne :
$AE=2\;cm\;,\ AG=3\;cm\;,\ GD=1\;cm\text{ et }BE=6\;cm.$
Calcule $AC\;,\ GF\;,\ GC\;,\ BG\text{ et }GE.$
Justifie.
Exercice 14
Sur la figure ci-contre, $\widehat{ABC}=64^{\circ}\text{ et }\widehat{ACB}=58^{\circ}.$
$(BE)$ est la bissectrice de l'angle $\widehat{B}$ et $(CD)$ est la bissectrice de l'angle $\widehat{C}.$
Les deux bissectrices se coupent en $I.$
Calcule la mesure des angles $\widehat{ACD}$, $\widehat{ADC}$, $\widehat{BIC}$, $\widehat{BAC}.$
Justifie.
Exercice 15
On donne un segment $[AK].$
Soit $J$ son milieu.
Place un point $L$ n'appartenant pas à $(AK)$ tel que $JL=6\;cm.$
Place sur $[JL]$ le point $G$ tel que $LG=4\;cm.$
$(KG)$ coupe $(AL)$ en $I.$
Démontre que $I$ est le milieu de $[AL].$
Exercice 16
$MNP$ est un triangle isocèle en $M$, $K$ est le milieu de $[NP].$
Les bissectrices $(PZ)$ et $(NT)$ des angles $\widehat{MPN}$ et $\widehat{MNP}$ se coupent en $I.$
Démontre que $(MK)$ passe par $I.$
Exercice 17
$KELI$ est un parallélogramme de centre $O.$
1) Construis le point $M$ centre de gravité du triangle $KEI$ et le point $N$ centre de gravité du triangle $ILE.$
2) Démontre que les points $K$, $M$, $O$ et $N$ sont alignés.
3) Démontre que $KM=MN=NL.$
Exercice 18
1) Construis un segment $[UV]$ et sa médiatrice $(\Delta).$
Marque un point $K$ sur cette médiatrice, $K$ n'appartient pas à $[UV]$ et le point $M$ symétrique de $U$ par rapport à $K.$
2) Démontre que $K$ est le centre du cercle circonscrit au triangle $MUV.$
3) La parallèle à $(UV)$ passant par $K$ coupe $(MV)$ en $J.$
Démontre que $(KJ)$ est la médiatrice du segment $[MV].$
Exercice 19
Trace un triangle $ABC.$
On appelle $D$ le symétrique de $A$ par rapport à $B$ et $E$ le symétrique de $A$ par rapport à $C.$
1) Démontre que les droites $(BC)$ et $(DE)$ sont parallèles.
2) On appelle $I$ le milieu du segment $[BC].$
La droite $(AI)$ coupe $(DE)$ en $H.$
Démontre que $I$ est le milieu du segment $[AH].$
3) Démontre que les droites $(DC)$, $(AH)$ et $(BE)$ sont concourantes.
Exercice 20
Soit un parallélogramme $ABCD.$
Le point $E$ est le symétrique de $D$ par rapport à $C.$
Les droites $(AD)$ et $(BE)$ se coupent en $F.$
1) Montre que $B$ est le milieu de $[EF].$
2) Montre que $A$ est le milieu de $[DF].$
3) Les droites $(DB)$ et $(FC)$ se coupent en $G.$
Démontre que les points $E$, $G$ et $A$ sont alignés.
Exercice 21
1) Construis un triangle $EFG$ rectangle en $F.$
Place $K$ le milieu du segment $[EG].$
Trace la droite passant par $K$ et perpendiculaire à $(EF).$
Elle coupe $[EF]$ en $L.$
2) Démontre que $L$ est le milieu du segment $[EF].$
3) Les droites $(FK)$ et $(GL)$ se coupent en $M.$
Que représentent les droites $(FK)$ et $(GL)$ pour le triangle $EFG$ ?
Déduis-en que la droite $(EM)$ coupe le segment $[FG]$ en son milieu.
Exercice 22
$MIL$ est un triangle, $A$, $B$ et $C$ les milieux respectifs des cotés $[MI]$, $[IL]$ et $[ML].$
Soit $G$ son centre de gravité.
1) Démontre que le quadrilatère $MABC$ est un parallélogramme.
2) $(AC)$ et $(MB)$ se coupent en $J.$
Démontre que $J$ est le milieu de $[AC].$
3) Démontrer que $G$ est le centre de gravité du triangle $ABC.$
Exercice 23
$PQR$ est un triangle.
1) Construis le point $M$ milieu de $[PQ]$ et le point $K$, symétrique de $P$ par rapport à $R.$
La droite $(KM)$ coupe le segment $[RQ]$ en $I$ et la droite $(PI)$ coupe $[KQ]$ en $N.$
2) Démontre que $N$ est le milieu du segment $[KQ].$
