2.5 Inéquation et système d'inéquations du premier degré à une inconnue
Exercice 1 Représentation graphique et solution
Dans chacun des cas suivants, représenter graphiquement puis écrire l'ensemble des solutions des inéquations suivantes.
a) $x>-2\qquad$ b) $x<+3\qquad$ c) $x\geq -4\qquad$ d) $x>0$
e) $x\leq 6\qquad$ f) $x\geq 0\qquad$ g) $x\leq -\dfrac{2}{3}\qquad$ k) $x<-\dfrac{5}{3}$
l) $x>\dfrac{17}{3}\qquad$ m) $x\geq -\dfrac{4}{5}\qquad$ o) $x\geq\dfrac{19}{7}\qquad$ p) $x>-\dfrac{103}{6}$
Exercice 2
Soit l'inéquation suivante définie par : $x+2\leq -3.$
1) Résoudre l'inéquation en utilisant les propriétés de l'inégalité.
2) Représenter graphiquement les solutions sur une droite graduée.
3) Citer une solution positive et une solution négative.
Exercice 3 Inéquation de type $ax+b<c$
Résoudre les inéquations suivantes puis représenter graphiquement les solutions.
1) a) $x-3\leq 4\qquad$ b) $x+6\geq -5\qquad$ c) $-7+x<-6$
2) a) $x-\dfrac{2}{3}\leq -\dfrac{2}{5}\qquad$ b) $x+\dfrac{3}{7}\geq -\dfrac{1}{2}\qquad$ c) $x-\dfrac{3}{4}<-1$
3) a) $4x\geq 3\qquad$ b) $\dfrac{5}{3}x<-\dfrac{1}{2}\qquad$ c) $\dfrac{2}{3}x\geq 5$
4) a) $-7x\geq 2\qquad$ b) $-\dfrac{2}{3}x>-5\qquad$ c) $-4x<-\dfrac{1}{3}$
Exercice 4 Inéquation de type $ax+b<cx+d$
Résoudre les inéquations suivantes.
1) a) $2x-1\geq -4x+3\qquad$ b) $5x+4<2x-5$
c) $6x-1\leq 2x+4\qquad$ d) $3x-5>-1+4x.$
2) a) $3x+5(x-1)\leq 3\qquad$ b) $1-5x+(4-3x)<8x-1.$
3) a) $-\dfrac{5}{4}x\geq -2x+1\qquad$ b) $\dfrac{2}{3}x-\dfrac{3}{2}\geq\dfrac{3}{2}x+\dfrac{2}{3}$
c) $2x-\dfrac{1}{3}<4x-\dfrac{4}{3}\qquad$ d) $6x-1<x+4.$
4) a) $\dfrac{7+2x}{4}\geq -\dfrac{4x-1}{3}\qquad$ b) $\dfrac{x+4}{3}-\dfrac{7x+1}{4}\leq\dfrac{1}{12}$
Exercice 5 Problème
On considère les deux cercles $\zeta_{1}(A\;;\ 2.3\;cm)$ et $\zeta_{2}(B\;;\ 5.4\;cm)$ tel que $AB=x+2.$
1) Donner toutes les valeurs entières possibles de $x$ pour que les cercles $\zeta_{1}$ et $\zeta_{2}$ soient sécants.
2) Donner la valeur de $x$ pour que les cercles $\zeta_{1}$ et $\zeta_{2}$ soient tangents extérieurement.
3) Donner toutes les valeurs de $x$ pour que les cercles $\zeta_{1}$ et $\zeta_{2}$ soient disjoints.
Exercice 6 Représentation graphique et solution
Dans chacun des cas suivants, représenter graphiquement puis écrire l'ensemble des solutions des systèmes d'équations suivantes.
\(1\;.\ \left\lbrace\begin{array}{rcl} x&\geq&-4\\ x&\leq&3 \end{array}\right.\qquad 2\;.\ \left\lbrace\begin{array}{rcl} x&<&2\\ x&\geq&3 \end{array}\right.\)
\(3\;.\ \left\lbrace\begin{array}{rcl} x&\leq&-4\\ x&\leq&-3 \end{array}\right.\qquad 4\;.\ \left\lbrace\begin{array}{rcl} x&<&-1\\ x&\geq&4 \end{array}\right.\)
\(5\;.\ \left\lbrace\begin{array}{rcl} x&<&2\\ x&\geq&-5 \end{array}\right.\qquad 6\;.\ \left\lbrace\begin{array}{rcl} x&\geq&-\dfrac{2}{3}\\ \\ x&\leq&\dfrac{2}{5} \end{array}\right.\)
\(7\;.\ \left\lbrace\begin{array}{rcl} x&>&-\dfrac{1}{2}\\ \\ x&\leq&+4 \end{array}\right.\)
Exercice 7 Systèmes d'inéquations
Résoudre les systèmes d'inéquations suivantes
\(1\;.\ \left\lbrace\begin{array}{rcl} 5x&\leq&-4\\ 4x&\geq&3 \end{array}\right.\qquad 2\;.\ \left\lbrace\begin{array}{rcl} -x-8&<&2\\ 4x&\geq&1 \end{array}\right.\)
\(3\;.\ \left\lbrace\begin{array}{rcl} 3+8x&\leq&3\\ 2(x+3)&>&-5 \end{array}\right.\qquad 4\;.\ \left\lbrace\begin{array}{rcl} 2x-3&>&-4x-5\\ -2x&\geq&-4x-5 \end{array}\right.\)
\(5\;.\ \left\lbrace\begin{array}{rcl} 2x-7&<&3x+8\\ 6x+1&\geq&2x-7 \end{array}\right.\)
Exercice 8 Approfondissement
Soit $f(x)$ l'expression définie par :
$f(x)=4-9x^{2}+(6x+4)(x-3)$
1) Développer, réduire et ordonner $f(x).$
2) Factoriser : $f(x).$
3) Sers-toi du résultat le plus simple pour calculer : $f(0)$ et $f\left(-\dfrac{2}{3}\right).$
4) Résoudre l'inéquation suivante : $f(x)<-3x^{2}$
