ELSCOL4001: 2.6 Triangle rectangle - Théorème de Pythagore

2.6 Triangle rectangle - Théorème de Pythagore

Exercice 1 Le théorème de Pythagore

Soit $ABC$ un triangle rectangle en $A$ tel que :

$AB=4\;cm\;;\ AC=3\;cm.$

1) Mesurer la distance $BC.$

2) a) Que représente le segment $[BC]$ pour le triangle $ABC$ ? Puis calculer $BC^{2}.$

b) Que représentent les segments $[AB]$ et $[AC]$ pour le triangle $ABC$ ? Puis calculer $AB^{2}+AC^{2}.$

c) Comparer $BC^{2}$ et $AB^{2}+AC^{2}.$

3) Quelle est la propriété que tu viens de démontrer pour le triangle rectangle ?

Exercice 2 Application du théorème

Soit $ABC$ un triangle rectangle en $C$ tel que :

$BC=4\;cm\;;\ AC=3\;cm.$ Calculer $AB.$

Exercice 3 Application du théorème

Soit $IJK$ rectangle en $J$ tel que :

$IJ=8\;cm$ et $IK=10\;cm.$ Calculer $JK.$

Exercice 4 Application du théorème

Soit $RST$ un triangle rectangle en $R$ tel que :

$TS=2.5\;cm$ et $RT=1.5\;cm.$ Calculer $RS.$

Exercice 5 Application du théorème

La figure ci-dessous représente un champ rectangulaire. On donne $BC=15\;m$ et $AC=25\;m.$ Calculer le périmètre et l'aire de ce champ.

Exercice 6

Tracer un triangle $AKS$ rectangle en $S.$

1) Marquer $M$, pied de la hauteur relative à l'hypoténuse.

2) Écrire la relation de Pythagore dans chacun des triangles $AKS\;,\ SMK$ et $AMS.$

Exercice 7

Soit $(AB)$ et $(CD)$ deux droites perpendiculaires en $M.$

Démontrer que $AD^{2}+BC^{2}=AC^{2}+DB^{2}.$

Exercice 8 Réciproque du théorème Pythagore

Soit $ABC$ un triangle, dans chacun des cas ci-dessous répondre par vrai ou faux.

1ier cas : $AB=6\qquad AC=10\qquad BC=8.$

2ième cas : $AB=4\qquad AC=7\qquad BC=6$

3ime cas : $AB=6\qquad AC=9\qquad BC=8$

4ième cas : $AB=9\qquad AC=15\qquad BC=1.$

Exercice 9 Approfondissement

1) Construire un triangle $OAB$ tel que :

$OA=5\;cm\;;\ OB=3\;cm$ et $AB=4\;cm.$

2) Démontrer que le triangle $OAB$ est rectangle.

3) Soit $D$ le symétrique du point $A$ par rapport à $B.$

Soit $C$ le symétrique de $O$ par rapport à $B$, montrer que le quadrilatère $OACD$ est un losange.

Exercice 10 Approfondissement

$ABC$ est un triangle isocèle eu $A$ tel que : $AB=5\;cm.$ Soit $A'$ le symétrique de $A$ par rapport à $(BC)$.

1) Faire une figure.

2) $I$ est le milieu de $[BC].$ Calculer $AI$ et l'aire du triangle $ACI.$

3) Quelle est la nature du quadrilatère $ACA'B\ ?$ Puis calculer son aire.

Exercice 11 Relation métrique

1) Soit $ABC$ un triangle rectangle en $A$ et $H$ le pied de la hauteur issue de $A.$

2) Calculer de deux manières différentes l'aire du triangle $ABC.$

3) Déduis-en une égalité qui relie : $AB\;,\ AC\;,\ BC$ et $AH.$

Exercice 12

Sur la figure ci-dessus $ABC$ est un triangle rectangle en $A$ et $H$ le pied de la hauteur issue de $A.$

On donne $BC=6\;cm\;;\ AC=4.8\;cm$

1) Calculer $AB.$

2) Calculer l'aire du triangle $ABC$. En déduire $AH$

Exercice 13 Application à la relation métrique

1) Construire un triangle $ABC$ rectangle en $A$ tel que :

$AB=3\;cm$ et $AC=4\;cm.$

2) Calculer $AH.$

Exercice 14 Application à la relation métrique

1) Construire un cercle $(c)$ de centre $O$ est de rayon $5\;cm.$

2) Marque un point $M$ situé à $13\;cm$ de $O.$

3) Soit $I$ le point de contact d'une tangente à $(c)$ passant par $M.$

4) Dans le triangle $IOM$, la hauteur passant par $I$ coupe la droite $(OM)$ en $H.$

5) Calculer $MI$ et $IH.$

Exercice 15 Approfondissement

$EFG$ est un triangle rectangle en $E$ tel que :

$EF=8\;cm$ et $EG=6\;cm.$

1) Calculer $FG$ et l'aire de $EFG.$

2) Calculer l'aire du triangle $EFG.$

3) Soit $H$ le pied de la hauteur issue de $E.$

Calculer $EH\;,\ FH$ et $HG.$

4) Préciser le centre $M$ du cercle circonscrit au triangle $EGH$ puis calculer son rayon.

5) Soit $A$ le point de la demi-droite $[FE)$ tel que :

$FA=12.5\;cm.$ Calculer $EA$ et $GA.$

6) Montrer que $FGA$ est un triangle rectangle.

Exercice 16 Approfondissement

Soit un triangle $ABC$ et la hauteur $[BE]$ avec $E$ appartenant au segment $[AC].$

On pose $AC=12.5\;cm$ et $AE=4.5\;cm.$ On appel $x$ la longueur du segment $[BE].$

1) Calculer $AB^{2}$ en fonction de $x$ dans le triangle $ABE.$

2) Calculer $BC^{2}$ en fonction de $x$ dans le triangle $BCE.$

3) On suppose que $ABC$ est rectangle en $B.$ En utilisant les résultats 1) et 2) applique lui le théorème de Pythagore et en déduire que $2x^{2}=72.$ Calculer $x.$

4) Calculer $AB$ et $BC.$ Déterminer l'aire de $ABC.$

Exercice 17 Recherche

Soit $ABC$ un triangle rectangle en $A$ et $H$ le pied de la hauteur issue de $A.$ Montrer que :

$AH^{2}=BH\times CH;$

$AB^{2}=BH\times BC;$

$AC^{2}=BC\times CH.$

Exercice 18

Si $ABC$ est un triangle rectangle en $A$ alors, on a :

a) $AB^{2}+BC^{2}=AC^{2}$

b) $AB^{2}+AC^{2}=BC^{2}$

C) $AC^{2}+BC^{2}=AB^{2}$

Écris la lettre qui correspond à la bonne réponse.

Exercice 19

Réponds par vrai ou faux à chacune des affirmations ci-dessous.

1) Dans un triangle rectangle, la somme des cotés de l'angle droit est égale à l'hypoténuse.

2) Dans un triangle rectangle, la somme des carrés des cotés de l'angle droit est égale au carré de l'hypoténuse.

Exercice 20

Recopie puis complète chacune des phrases ci-dessous.

1) Dans un triangle rectangle, la somme des carrés des côtés de l'angle droit est égale .............

2) Dans un triangle rectangle, la somme des ............ est égale au carré de l'hypoténuse.

Exercice 21

1) $ABC$ est un triangle rectangle en $A$ tel que, $AB=4\text{ et }AC=3.$

Calcule $BC.$

2) $EFG$ est un triangle rectangle en $G$ tel que, $EF=2.5\text{ et }GF=2.$

Calcule $GE.$

Exercice 22

$ABCD$ est un rectangle de longueur $4\;cm$ et de largeur $3\;cm.$

Calcule la diagonale de ce rectangle.

Exercice 23

$ABC$ est un triangle rectangle en $C$ tel que $AB=15\;cm$ et $CB=12\;cm.$

La mesure de la hauteur issue de $C$ est égale à $7.2\;cm.$

Calcule $AC$ sans utiliser le théorème de Pythagore.

Exercice 24

$EGH$ est un triangle rectangle en $G$ tel que $GE=4\;cm$ et $GH=3\;cm.$

La mesure de la hauteur issue de $G$ est égale à $2.4\;cm.$

Calcule $EH$ sans utiliser le théorème de Pythagore.

Exercice 25

On donne trois points $A$, $B$ et $C$ tels que :

$AB=5\;cm$, $AC=3\;cm$ et $BC=4\;cm.$

Montre que le triangle $ABC$ est rectangle.

Exercice 26

Soit $M$, $N$ et $P$ trois points tels que :

$MN=1.5\;cm$, $NP=2.5\;cm$ et $PM=2\;cm.$

Montre que triangle $MNP$ est un triangle rectangle.

Exercice 27

On donne trois points $L$, $M$ et $N$ tels que :

$LM=2\;cm$, $MN=2\;cm$ et $NL=3\;cm.$

Le triangle $LMN$ est-il rectangle ?

Justifie ta réponse.

Exercice 28

On donne trois points $E$, $F$ et $G$ tels que :

$EF=2\;cm$, $FG=3.5\;cm$ et $GF=4\;cm.$

Le triangle $EFG$ est-il rectangle ?