2.7 Vecteurs et translations
Exercice 1
Exercice 1
Soit $ABCD$ un parallélogramme de centre $O.$
Parmi les vecteurs :
$\overrightarrow{AB}\;;\ \overrightarrow{BC}\;;\ \overrightarrow{CD}\;;\ \overrightarrow{DA}\;;\ \overrightarrow{AC}\;;\ \overrightarrow{BD}\;;\ \overrightarrow{AO}\;;\ \overrightarrow{OC}\;;\ \overrightarrow{DO}$ et $\overrightarrow{OB}$
indique :
a) Ceux de même direction.
b) Ceux de même sens.
c) Ceux de même longueur.
d) Ceux qui sont égaux
Exercice 2
$DEFG$ est un rectangle.
Les égalités suivantes : \(\overrightarrow{GD}=\overrightarrow{EG}\;;\ \overrightarrow{DF}=\overrightarrow{EG}\;;\ \overrightarrow{DE}=\overrightarrow{FG}\)
sont-elles vraies ? Justifier la réponse.
Exercice 3 Image d'un segment
Soit $\vec{U}$ un vecteur du plan
1) Construire un segment $[AB]$ tel que $AB=4\;cm.$
2) Construire les points $A'$ et $B'$ image respectif de $A$ et $B$ par la translation de vecteur $\vec{U}.$
3) a) Quelle est la longueur de $A'B'$ ?
b) Quelle est la position relative de $(AB)$ et $(A'B')\ ?$
4) Énoncer la propriété.
Exercice 4
On donne trois points non alignés $A\;;\ B\;;\ C.$
1) Construire les points $M$ et $N$ tels que :
$\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AM}\quad$ et $\quad\overrightarrow{BN}=\overrightarrow{AC}.$
2) Démontrer que $C$ est le milieu du segment $[MN].$
Exercice 5
$ABCD$ est un parallélogramme
1) Construire le point $E$ image de $C$ par la translation de vecteur $\overrightarrow{DC}.$
2) a) Expliquer pourquoi $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}\ ?\quad \overrightarrow{CE}=\overrightarrow{DC}\ ?$
b) En déduire que $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CE}.$
Exercice 6
Soit $MNP$ un triangle isocèle de sommet $A.$ on désigne par $M'$ le milieu de $[BC].$
Soit $Q$ le point tel que : $\overrightarrow{M'Q}=\overrightarrow{MM}'.$
1) Démontrer que $(MM')$ est la médiatrice de $[NP].$
2) Démontrer que le quadrilatère $MNQP$ est un losange.
3) Construire l'image de $MNPQ$ par la translation de vecteur $\overrightarrow{NP}.$
Exercice 7
Soit $(c)$ un cercle de centre $O$ de diamètre $[AB]$ et $M$ un point de ce cercle.
1) Quelle est la nature du triangle $AMB$ ? Justifier
2) a) Construire les points $A'\;,\ B'\;,\ M'$ image de $A\;,\ M\;,\ B$ par la translation de vecteur $\overrightarrow{OM}.$
b) Quel est l'image de $O$ par la translation de vecteur $\overrightarrow{OM}.$
3) Quelle est la nature du quadrilatère $ABB'A'$ ?
4) a) Démontrer que $A'B'M'$ est un triangle rectangle.
b) On donne : $OB=5\;cm$ et $MB=6\;cm.$ Calculer $AM$ puis en déduire l'aire du triangle $A'B'M'.$
Exercice 8
Soit $ABC$ un triangle rectangle en $A$ tel que :
$AB=3\;cm$ et $AC=4\;cm.$
1) Calculer la distance $BC$
2) a) Soit $I$ milieu du segment $[AC].$
b) Démontrer que $ABCB'$ est un parallélogramme.
3) Construire :
$-\ C'$ image de $C$ par la translation de vecteur $\overrightarrow{BB}'$
$-\ A'$ image de $A$ par la translation de vecteur $\overrightarrow{BB}'.$
4) a) Quel est le vecteur de translation qui envoie $ABC$ en $A'B'C'$ ?
b) La nature du triangle $A'B'C'$ ? Puis calculer son aire ?
5) Démontrer que $B'$ est le milieu de $[A'C].$
Exercice 9
Soit un segment $[AB]$ et $I$ son milieu.
1) Comment sont disposés les points $A$, $I$ et $B.$
2) Compare les longueurs $AI$ et $IB.$
3) Quelle est l'image de $I$ par la translation qui transforme $A$ en $I$ ?
Exercice 10
1) Trace deux droites $(\mathcal{D})$ et $(\mathcal{D'})$ parallèles puis marque deux points $A$ et $B$ sur $(\mathcal{D})$ et un point $C$ sur $(\mathcal{D'}).$
2) Construis le point $C'$ tel que $ABC'C$ soit un parallélogramme.
3) Quelle translation transforme $C$ en $C'$ ?
Exercice 11
Répond par vrai ou faux à chacune des affirmations ci-dessous :
Soit un vecteur $\overrightarrow{EF}$ et $O$ un point du plan.
1) Si $\overrightarrow{OE}=\overrightarrow{FE}$ alors $O$ est le milieu du segment $[EF].$
2) Si $\overrightarrow{EO}=\overrightarrow{OF}$ alors $O$ est le milieu du segment $[EF].$
3) Si $\overrightarrow{EO}=\overrightarrow{FO}$ alors $O$ est le milieu du segment $[EF].$
4) Si $\overrightarrow{OE}=\overrightarrow{OF}$ alors $O$ est le milieu du segment $[EF].$
Exercice 12
Recopie puis complète les phrases ci-dessous.
1) Si trois points sont alignés alors leurs images par une translation ............
2) L'image d'un segment par une translation est un segment ...........
3) L'image d'une droite par une translation est une droite ...........
4) L'image d'un cercle par une translation est un cercle de ........ et .............
5) L'image d'un angle par une translation est un ...........
Exercice 13
$ABC$ est un triangle rectangle en $A$ tel que $AB=5\;cm$ et $AC=4\;cm.$
Soit $I$ le milieu de $[BC]$
1) Construis les points $B'\;,\ C'\text{ et }I'$ images respectives des points $B\;,\ C\text{ et }I$ par la translation qui transforme $A$ en $C.$
2) Quelle est la longueur du segment $[B'C']$ ? Justifie.
3) Quelle est la position des trois points $A'\;,\ B'\text{ et }C'$ ? Justifie.
4) Quelle est la mesure de l'angle $\widehat{B'CC'}$ ? Justifie.
Exercice 14
Soit le cercle $\mathcal{C}(O.3\;cm).$
1) Marque un point $M$ sur le cercle et un point $N$ à l'extérieur du cercle.
2) Construis les points $O'$ et $M'$ images respectives des points $O$ et $M$ par la translation qui transforme $M$ en $N.$
3) Construis le cercle $(\mathcal{C'})$ de centre $O'$ et de rayon $O'M'.$
4) Montre que $(\mathcal{C'})$ est l'image de $(\mathcal{C})$ par la translation qui transforme $M$ en $N.$
Exercice 15
Répond par vrai ou faux à chacune des affirmations ci-dessous.
1) Si $ABCD$ est un parallélogramme alors $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}.$
2) Si $ABCD$ est un parallélogramme alors $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}.$
3) Si $ABCD$ est un parallélogramme alors $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{BD}.$
4) Si $ABCD$ est un parallélogramme alors $\overrightarrow{DA}=\overrightarrow{BC}.$
5) Si $ABCD$ est un parallélogramme alors $\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{BA}.$
Exercice 16
1) Construis un triangle $EFG$, puis les points $H$, $A$, $B$ tel que :
$H$ pied de la hauteur issue de $E$ ;
$A$ l'image de $E$ par la translation de vecteur $\overrightarrow{HF}$ ;
$B$ l'image de $E$ par la translation de vecteur $\overrightarrow{HG}$ ;
2) Donne la nature des quadrilatères $BEHG$ et $HFAE.$
Justifie.
Exercice 17
1) Construis un cercle $\mathcal{C}(O\;;\ 3\;cm).$
2) Marque les points $I$, $J$ et $K$ sur $(\mathcal{C})$ tels que les points $I$ et $J$ soient diamétralement opposés.
3) Construis le point $A$ l'image de $K$ par la translation de vecteur $\overrightarrow{JI}.$
4) Quelle est la nature du quadrilatère $AIJK$ ? Justifie.
Exercice 18
Reproduis la figure ci-dessous puis construis :
$\bullet$ Le point $B'$ image de $B$ par la translation qui transforme $A$ en $C$ ;
$\bullet$ Le point $C'$ image de $C$ par la translation qui transforme $E$ en $A$
Exercice 19
Reproduis la figure ci-contre puis construis
l'image du segment $[IF]$ par la translation qui
transforme $E$ en $B.$
Exercice 20
Reproduis la figure ci-contre puis construis l'image du
cercle $(\mathcal{C})$ de centre $O$ et de rayon $3\;cm$ par la translation qui
transforme $B$ en $D.$
Exercice 21
Reproduis la figure ci-contre puis construis
l'image $(\mathcal{D'})$ de la droite $(\mathcal{D})$ par la translation
qui transforme $A$ en $B.$
Exercice 22
Reproduis la figure ci-contre puis construis l'image
$A'B'C'$ du triangle $ABC$ par la translation qui
transforme $A$ en $E.$
Exercice 23
Dans la figure $(F)$ ci-contre, $ABC$ est un triangle équilatéral et $O$
est le centre du demi-cercle de diamètre $[BC].$
1) Reproduis la figure $(F)$
2) Construis l'image $(F')$ de $(F)$ par la translation de vecteur
$\overrightarrow{DA}.$
3) Justifie que $A'$, $O'$ et $D'$ image de $A$, $O$ et $D$ par cette
translation de vecteur $\overrightarrow{DA}.$ sont alignés.
Exercice 24
Pour chacun des énoncés ci-dessous, trois réponses $a$, $b$ et $c$ sont données dont une seule est juste.
Écris le numéro de l'énoncé et la réponse choisie.
\(\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline N^{\circ}&\text{Enoncé}&a&b&c\\ \hline 1&\text{Si }ABCD\text{ est un}&\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}&\overrightarrow{BC}= \overrightarrow{AD}&\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{BD}\\ &\text{parallélogramme}& & &\\ &\text{alors}& & &\\ \hline 2&\text{Si le point }M\text{ est}&A\text{ est milieu}\text{ est milieu}&M\text{ est milieu}\\ &\text{l'image de }B\text{ par la}&\text{de }[AB]&\text{de }[AM]&\text{de }[AB]\\ &\text{translation de vecteur}& & & \\ &\overrightarrow{AB}\text{ alors}& & &\\ \hline 3&\text{Si }F\text{ est milieu de}&\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{GF}&\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{FG}& \overrightarrow{EG}=\overrightarrow{GF}\\ &[EG]\text{ alors}& & &\\ \hline \end{array}\)
Exercice 25
Soit $ABCD$ un parallélogramme et $E$ un point du plan.
1) Construis le point $F$ tel que $\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{AB}$
2) Démontre que $EFCD$ est un parallélogramme.
Exercice 26
1) Trace un triangle $ABC.$
2) Construis le point $F$ tel que $BCFA$ soit un parallélogramme.
3) Construis le point $H$ de façon que $A$ soit le milieu de $[HB].$
4) Démontre que $AHFC$ est un parallélogramme.
Exercice 27
Soit un carré $ABCD$ de centre $O$ et de côté $4\;cm.$
Soit $t$ la translation de vecteur $\overrightarrow{BO}.$
1) Fais la figure et construis les points $E$, $F$, $G$ et $H$ images respectives des points $A$, $B$, $C$ et $H$ par $t.$
2) Démontre que $EFGH$ est carré.
Exercice 28
Soit $A$, $F$, $G$ trois points d'une droite $(\mathcal{D})$ et $E$ un point n'appartenant pas à $(\mathcal{D}).$
1) Construis les points $M$, $N$ images respectives des points $F$ et $G$ par la translation de vecteur $\overrightarrow{AE}.$
2) Démontre que les points $E$, $M$ et $N$ sont alignés.
Exercice 29
Soit $ABC$ est un triangle rectangle en $A$ et $E$ et $F$ deux points distincts.
1) Construis l'image $A'B'C'$ du triangle $ABC$ par la translation de vecteur $\overrightarrow{EF}$
2) Quelle est la nature du triangle $A'B'C'$ ? Justifie.
