On rappelle que le calcul  du champ électrostatique  E , crée par une distribution de charge de densité volumique ρ peut être mené, soit à partir :
•  de la loi de Coulomb :

•  du potentiel V : 
où τ est le volume de la distribution de charge, et C est un contour fermé.
•  du théorème de Gauss sous sa forme intégrale: 
Oùest la normale à la surface fermée englobant la charge q. 

3-1- Symétries des sources ( causes) et des effets crées : Principe de Curie  

Les effets présentent les mêmes symétries que leurs causes. Les éléments de symétrie des causes (distributions D ou sources) doivent donc se retrouver dans les effets (et V) produits. 

a) Distribution de charge présentant un plan de symétrie pair (Π) 

On dit qu’une distribution de charge (D) est symétrique par rapport à un plan Π, si pour deux points P et P’ symétriques par rapport à Π, on a (figure 5) :
.

Pour illustrer ce cas, nous prenons deux charges identiques q placées en P et P’, où P’ est le symétrique de M par rapport au plan Π.
Soit M’ le symétrique du point M par rapport au plan Π. On peut constater sur la figure 6 que le champ en M’ est le symétrique du champ en M : 

On remarque que les composantes du champ parallèles au plan de symétriesont conservées alors que celles perpendiculaires au plansont inversées : 
 En particulier, en un point du plan de symétrie (M = M’) on a (figure 7): 

Le champ électrique est contenu dans le plan de symétrie paire. Dune façon générale tout vecteur polaire est contenu dans le plan de symétrie paire (figure 7). 

b) Distribution de charge présentant un plan de symétrie impair (Π’) 

Une distribution de charge possède un plan de symétrie impaire  Π’, si pour deux points P et P’ symétriques par rapport à Π’, on a
Pour illustrer ce cas, nous prenons deux charges q et – q placées en P et P’, où P’ est le symétrique de M par rapport au plan Π’. 

Soit M’ un point symétrique de M par rapport à Π’, On peut constater sur la figure 8 que le champ en M’ est l’opposé du symétrique du champ en M : 
 A l’inverse du cas précèdent, on remarque sur la figure 8 que les composantes du champ parallèles au plan de symétrie impair  Π’ sont opposées alors que celles perpendiculaires au plan  sont conservées : 
 Si M appartient au plan de symétrie impaire (M = M’), on aura (figure 9) : 
Tout vecteur polaire est perpendiculaire à un plan de symétrie impaire. 

c) Conséquences

Lors d’une opération de symétrie appliquée à la distribution de charges (D), le champ électrostatiquesubit la même opération. On dit que le vecteur champ électrique est un vecteur  polaire ou “vrai” vecteur. Ce vecteur a les mêmes propriétés de symétrie que ses sources.
Les plans de symétrie nous permettent souvent de trouver la direction du champ en un point M. Pour trouver la direction du champen un point M, il suffit de trouver :
* Soit deux plans de symétrie passant par M. Le champappartenant  à ces deux plans. Il est donc porté par la droite formée par leur intersection.
* Soit un plan de symétrie impair passant par M. La direction du champau point M est donnée par la normale au plan de symétrie impaire.
Les plans de symétrie permettent d’obtenir les composantes du champ. 

3-2 - Invariance de la distribution de charge

a) Invariance par translation le long d’un axe

Les variables dont dépendent ces composantes sont obtenues en étudiant les invariances de la distribution de charges.
Dans la plupart des cas nous utilisons des distributions idéalisées, par exemple pour calculer le champ crée par un fil en un point M de  l’espace homogène et isotrope, très proche du fil, on peut considérer que le fil est infini. Considérons l’exemple d’un fil rectiligne caractérisé par une densité linéique λ uniforme.
Si on translate le fil  parallèlement à lui même d’un vecteur, la nouvelle distribution D’ coïncide avec D (puisque le fil est considéré infini et la distribution de charge est uniforme). (figure 10-a).


On a : 
D’après le principe de Curie, le champet le potentiel V(M) sont inchangés en un point M quelconque de l’espace homogène et isotrope :  
Pour un autre point quelconque M’ tel que:
on a aussi (10-b) :
Comme une opération de translation ne modifie pas le vecteur, il vient :
On obtient finalement 
Si une distribution de charge admet une  symétrie de translation, les grandeurs physiques ne dépendent pas de la variable décrivant axe de translation. Si par exemple, on repère le point M par ses coordonnées cartésiennes (x, y, z) et que (annexe 1), les relations précédentes deet V s’écrivent 
Ces relations doivent être invariantes quelque soit z0 : 
L’existence de cet élément de translation a permis de limiter le nombre de variables indépendantes (x, y, z) aux deux coordonnées x et y. 

b) Invariance par rotation autour d’un axe

Considérons une répartition de charge D de densité volumique uniforme ρ présentant un axe de révolution, c’est à  dire  si  on  fait  subir à cette distribution une rotation d’angle  θ autour de cet axe, la nouvelle distribution D’ coïncide avec la précédente (la distribution reste invariante) (figure 11-a).
On a : 


D’après le principe de Curie, cette opération de symétrie pour D l’est aussi en un point M de l’espace homogène et isotrope, pour.
Si on considère un point M’ quelconque obtenu par rotation du point M d’un angle θ on aura (figure11-b) : 
Si nous choisissons les coordonnées cylindriques (ρ, θ, z) (annexe 1) et  Oz  l’axe de symétrie de rotation de la distribution le potentiel et le champ électriques ne doivent pas dépendre de θ car le système est invariant lors de la rotation : 
On voit que l’existence d’un axe de révolution et le choix approprié du système de coordonnées, ont permis de limiter le nombre de variables indépendantes dont dépendentet V (ici a deux ρ et z).