On considère une charge ponctuelle q placée dans le vide à l’origine O du système de coordonnées sphériques de base

1) Donner l’expression du champ électrostatique  crée par cette charge en un point M de l’espace situé à la distance r de O. Exprimer  en fonction du vecteur  

2) Calculer la circulation de  le long d’un contour quelconque limité par deux points A et B.

Soit V(M) le potentiel électrostatique crée en M par la charge q. En déduire la différence de potentiel entre A et B, puis la circulation de  le long d’un contour fermé.

On considère deux charges ponctuelles identiques (q > 0) distantes de 2a et placées dans le vide en deux points A(0, a, 0) et B(0, -a, 0) de l’axe

1) Calculer le champ électrostatique  crée par ces deux charges en un point M de la médiatrice de AB. On note O le milieu de AB et on pose :

2) Que devient l’expression de lorsqu’on remplace la charge q en A par –q.

Soit un fil AB de longueur L confondu avec l’axe Oz, chargé avec une densité linéique λ uniforme.

1) Calculer le champ électrostatique  crée par ce fil en un point M de la médiatrice de AB.

On note O le milieu de AB et on pose : OM = r. Ecrire E en fonction de la charge totale Q du fil.

2) En déduire le champ  crée par un fil infini.

3) Calculer, à une constante près, le potentiel électrostatique V crée par le fil infini. En déduire la différence de potentiel entre deux points M1 et M2 de la médiatrice de AB.

Dans l’espace assimilé au vide, la plan Π (xOy) d’un repère orthonormé direct de base  porte une charge de densité surfacique σ > 0. Le champ électrostatique crée par cette distribution en tout point M de l’espace est :

1) Calculer le potentiel électrostatique V(M) dans les deux régions z > 0 et z < 0. On donne :

V (z = 0) = 0 .

2) On superpose au plan précédent à la distance z = d > 0, un plan Π1 uniformément chargé avec une densité (-σ).

    a) En utilisant le principe de superposition, déterminer le champ électrostatique dans les trois régions : z > d, 0 < z < d et z < 0.

    b) En déduire le potentiel électrostatique V(M) dans les trois régions : z ≥ d, 0 ≤ z ≤ d et z ≤ 0. On donne : V (z = 0) = 0 .

3) Représenter E(M) et V(M) en fonction de z. Commenter ces courbes.

A la distance z = d > 0, le plan Π1 est remplacé par une demi-sphère de rayon R qui pose sur un disque de même rayon E et d’épaisseur très faible. La demi-sphère et le disque ne porte aucune charge (figure 1).

Figure 1

Calculer le flux Φ du champ électrostatique crée par le plan Π à travers la surface fermée formée par la demi-sphère et le disque.