1) En coordonnées sphériques (r, θ, ϕ) de base le champ est donné par :

2) On remplace la charge q en A par (-q) :

Et donc,

1) Soient deux points P et P’ symétrique par rapport à O. Autour de P et P’, un élément dl contient une charge

dq = λdl = λdz .

* La charge élémentaire dq(P) crée le champ élémentaire

* La charge élémentaire dq(P') crée le champ élémentaire

Le champ crée par les deux éléments symétriques a une seule composante suivant  puisque les composantes suivant z’z se compensent.

D’autre part,

Donc,

Le champ total est :

* La charge totale du fil est :  et donc : . Le champ peut s’exprimer en fonction de la charge totale :

Rq. On peut retrouver ce résultat, en écrivant le champ dans le cas où r << L / 2 :

3) V pour un fil infini :

2) Superposition

b) Potentiel V(M)

Puisque le potentiel est continu en z = 0 et en z = d, on a :

3) Représentation de E(z) et V(z)

Commentaires : le champ  est discontinu en z = 0 et en z = d ; alors que le potentiel est continu.

Le plan Π crée un champ :

Soit D : la surface du disque et S la surface d’une demi-sphère et D'= D + S

En un point M du disque D :

Le signe – traduit le fait que le flux de  à travers D est sortant.

* En un point M de la sphère S :

Ainsi, le flux total est :